Задание В10 Простейшие вероятностные задачи.
Задача1
На книжной полке Максима 25 книг: 12 детективов, 4 учебника по математике и 9 книг в жанре
"фэнтези", найдите вероятность того, что наудачу взятая с этой полки книга окажется учебником по математике.
РЕШЕНИЕ:
Вероятность того, что наудачу взятвя с полки книга окажется учебником математике, равна 4:25= 0,16
Ответ: 0,16.
Задача 2
Юра дважды бросал кубик. Найдите вероятность того, что при втором броске у него выпало столько же очков, сколько и припервом.
Ответ округлите до сотых.
РЕШЕНИЕ: Так как броски кубика независимые события то вероятность того, что оба раза выпадет одинаковое количество очков равна 1/6= 0,17(если округлить до сотых)
Ответ: 0,17
Задача 3
Пете и Юре нужно написать реферат на одну и ту же тему. Ученики нашли в Интернете один и тот же набор из 10 рефератов на заланную тему, и каждый скачал наугад
выбранный реферат из этого набора. Какова вероятност того, что представленные рефераты оказались различными?
РЕШЕНИЕ:
Пусть Петя скачал наугад выбранный из 10 реферат. Вероятность скачивания Юрой того же рефератаравна 1/10 или 0,1.
Вероятность несовпадения рефератов равна 1 - 0,1 = 0,9.
Ответ: 0,9
Задача 4
Алексей подкидывает монету до тех пор, пока не выпадает решка. Какова вероятность того, что он сделает ровно4 подбрасывания?
РЕШЕНИЕ:
4 подбрасывания означает, что при каждом из первых трёх подбрасываний выпадал орел, а в четвертом - решка. Вероятность появления заданного из двух
равновозможных исходов в одном испытании равна 1/2; по формуле произведения событий вычислим вероятность появления заданного исхода
в каждом из 4-х подбрасываний: 1/2•1/2•1/2•1/ =1/16= 0,0625.
Ответ: 0,0625
Задача 5
В мешке лежит пять неразличимых на ощупь карточек с буквами А,Т,А,К,А. Какова вероятность того , что , наудачу извлекая по очереди карточки
и выкладывая их на столе можно получить слово "АТАКА"?
РЕШЕНИЕ:
Буква Т в слове АТАКА стоит на втором месте, буква К стоит на четвертом. Буква Т с равной возможностью может занять любое из пяти мест,
вероятность её появления на втором месте равна 1/5. Вероятно появления буквы К на нужном месте из оставшихся четырех равна 1/4. Искомая вероятность равна
1/5•1/4=1/20=0,05.
Ответ: 0,05.
Задача 6
Какова вероятность того, что наудачу взятое целое число из диапазона 0 - 999 больше 449?
РЕШЕНИЕ:
В указанном диапазоне 1000 целых чисел из них 999 - 449 = 550, 550 чисел больше 449. Наудачу взятое из указанного диапазона число будет
больше 449 с вероятностью 550/1000= 0.55.
Ответ: 0,55.
Задача 7
Карточки с цифрами от 1до 4 наудачу извлекают из мешка и кладут по порядку. Какова вероятность того, что карточку с цифрой 3 извлекут последней?
РЕШЕНИЕ:
Последне с равной вероятностью может оказаться любая их карточек, поэтому вероятность того, что последней будет карточка с цифрой 3
равна 1/4=0,25
Ответ: 0,25.
Задача 8
В книге 400 страниц , из них на 36 есть картинки. Школьник открывает книгу на наудачу выбранной странице. Какова вероятность того, что на
открытой странице не будет картинок?
РЕШЕНИЕ:
Картинок нет на 400 - 36 = 364 . Вероятность открыть книгу на одной из этих страниц равна 364/400=0,91.
ОТВЕТ: 0,91
Задача9
Готовяськ экзамену по ОБЖ , Влад выучил 16 билетов из 40. На экзамене он вытянул 1 билет наудачу. Какова вероятно того, что
это будет выученный билет?
РЕШЕНИЕ:
Вероятность вытянуть выученный билет равна 16/40=0,4
Ответ: 0,4
Задача 10.
В партии 1050 деталей, из них 630 типа А, а остальные - типа Б .Какова вероятность того, что наудачу взятая детель - типа Б?
РЕШЕНИЕ:
В партии 1050 - 630 = 420 детелей типа Б . Искомая вероятность равна 420 : 1050 =0,4.
Ответ: 0,4.
Задача 11
В классе 20 учеников, из них 4 - Светы и 5- Дим. Директор вызвал наугад одного из учеников. Какова вероятность того,что вызванного
ученика зовут Света или Дима?
РЕШЕНИЕ:
Вероятность того, что директор вызовет Свету или Диму (4+5) : 20 =0,45
Ответ: 0,45
Задача12
В случае эксперимента симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность тог , что орел выпадет ровно 1 раз?
РЕШЕНИЕ:
Выпадение орла или решки равновероятно т.е. по 50%. Найдем общее число исходов 2•2•2•2=16. 4 благоприятствуют событию
"орел выпал 1 раз". Искомая вероятность равна 4:16=0,25.
Ответ:0,25
Задача 13
В случае эксперимента бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 12 очков. Ответ округлите до сотых.
РЕШЕНИЕ:
Найдем общее количество исходов: 6•6•6=216
Найдем число благоприятных исходов: событию " в сумме выпало 12 очков" удовлетворяют исходы6
(1;5;6), (1;6;5) (2;4;6) (2;5;5) (2;6;4) (3;3;6) (3;4;5) (3;5;4)
(3;6;3) (4;2;6) (4;3;5) (4;4;4) (4;5;3) (4;6;2) (5;1;6) (5;2;5)
(5;3;4) (5;4;3) (5;5;2) (5;6;1) (6;1;5) (6;2;4) (6;3;3) (6;4;2) (6;5;1) всего таких исходов 25. Искомая вероятность равна 25:216=0,12...
Ответ: 0,12
Задача14
На чемпионате мира п о фигурному катанию участвуют 75 спортсменов, среди них 12 - из России, 8 - из Китая. Порядок выступления
определяется жребием. Найдите вероятность того, что 13-м будет выступать спортсмен из России.
РЕШЕНИЕ:
13-ым может выступать оиз спортсменов. Вероятность выступления 13-м спортсмена из России равна 12:75=0,16.
Ответ:0,16
Задача 15
Ракета поражает цель с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что цель не окажется пораженной после 4 запусков ракеты?
РЕШЕНИЕ:
Вероятность промаха при одном запуске равна 1- 0,9= 0,1.
По формуле произведения событий вероятность промаха во всех четырех запусках равна 0,1•0,1•0,1•0,1=0,0001.
Ответ: 0,0001.
Задача16
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадает не менее 11 очков.
Ответ округлите до сотых.
РЕШЕНИЕ:
Всего равновозможных исходов 6•6= 36.
Событию "в сумме выпало не менее 11 очков" благоприятствуют три исхода: (5;6),(6;5),(6,6).
Вероятность этого события равна 3:36= 0,08
Ответ:0,08
Задача 17
Из 75 парашютов 6 неисправных. Какова вероятность того, что наудачу взятый парашют исправен?
РЕШЕНИЕ:
Исправных парашютов 75 - 6 = 69.
Вероятность того, что наугад взятый парашют будет исправен 69 : 75 =0,92.
Ответ: 0,92
Задача 18
Мастер из 15 деталей сделал 8 бракованных. Комиссия взяла на проверку 2 наудачу выбранные детали.
Какова вероятностьо того, что хотя бы одна деталь окажется бракованной?
РЕШЕНИЕ:
Найдем сколько не бракованных деталей: 15-8 =7, Вероятность отсутствия брака в первой детали равна 7:15=7/15 т.е. семь пятнадцатых.
Если первая деталь исправна, то вторая деталь выбирается из 14-ти, среди которых 6 без брака.
Вероятность отсуствия брака во второй детали( при отсутствия брака в первой) равна 6:14=6/14 т.е. шесть четырнадцатых.
Вероятность исправности обеих деталей равна 7/15 •6/14 = 0,2( семь пятнадцатых умножить на шесть четырнадцатых).
Найдем вероятноть того, что хотя бы одна деталь окажется бракованной: 1 - 0,2 = 0,8.
Ответ: 0,8
Задача 19
У Григория в понедельник 6 уроков: 3 по математике и 3 по русскому языку.Он наудачу пропустил 2 из них ( необязательно подряд).
Какова вероятность того, что оба пропущенных урока по математике?
РЕШЕНИЕ:
Вероятность того, что 1-ый пропущенный урок- математика 3: 6= 0,5.
Если 1-ый пропущенный урок математика, то остаётся 5 уроков и среди них 2 урока математики.
Вероятность пропуска 2-го урока математики равна 2 : 5=0,4.
Вероятность того, что оба пропущенных урока - по математике , равна 0,5 • 0,4 =0,2.
Ответ: 0,2
Задача 20
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
РЕШЕНИЕ:
Определим сколько спортсменок из Китая: 20 -(8+7) =5 .
Всего исходов 20 (т.к. всего спортсменок 20). Благоприятных исходов для Китаянок - 5
Вероятность того, что спортсменкой , выступающей первой окажется из Китая равна: 5 : 20 =0,25.
Ответ:0,25
Задача 21
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами.
Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
РЕШЕНИЕ:
На 100 сумок приходится 8 сумок с дефектами.
Если покупатель купит 108 сумок, то 100 сумок окажутся качественными, а 8 с дефектами.
Всего исходов 108
Благопритяных 100.Найдем вероятность того ,что купленная сумка окажется качественной 100:108 = 0,93
Ответ:0,93
Задача 22
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.
Результат округлите до сотых.
РЕШЕНИЕ:
Всего исходов 6•6 = 36
Найдем количество вариантов ( благоприятных исходов) когда в сумме выпадет 8 очков : (2 и 6), (3 и 5), (4 и4), (6и 2 ) , (5 и 3) всего 5 вариантов
Следовательно вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков равна 5 : 36 =0,138... Округлим число 0.138.. до сотых и получим 0,14.
Ответ: 0,14
Задача 23
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
РЕШЕНИЕ:
Выпадение "орла" или "решки" равновероятно т.е. 50%.
Найдем общее число исходов (0 ,Р ),(О , О) (Р, О), (Р , Р) или ( 2•2=4)
Благоприятных исходов ( из общего числа исходов ), когда выпадает "орел" ровно один раз это (О,Р), (Р,О) - 2 благоприятных исхода.
Вероятность того, что "орел" выпадет ровно один раз 2:4=0,5
Ответ: 0,5.
Задача 24
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии.
Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
РЕШЕНИЕ:
Найдем общее число спортсменов 4+ 7+9+5 =25
Определяется жребием - означает, что каждый из выступающих спортсменов имеет шанс быть последним.
Общее число количества исходов равно 25. Благоприятных исходов для спортсменов из Швеции равно 9.
Найдем вероятность того, что спортсмен, выступающий последним окажется из Швеции 9 : 25 = 0,36.
Ответ: 0,36.
Задача25
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков.
Результат округлите до сотых.
РЕШЕНИЕ:
Найдем общее число исходов: 6•6•6=216 (т.к.3 игральные кости)
Комбинаций, когда в сумме выпадает 6 очков: (1;2;3), (2;2;2), (1,1,4).
Найдем число благоприятных исходов:Составим комбинации когда выпадает 6 очков :(1;2;3) ,(2;1;3),(3;1;2),(3;2;1),(2;3;1), (1;3;2) - 6 исходов,
6 очков выпадает при комбинации (2;2;2) - 1 исход. 6 очков может выпасть при комбинации(1;1;4),(1;4;1),(4;1;1)- 3 исхода.
Таким образом благоприятных исходов: 6+1+3 = 10.
Найдем вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков: 10:216 =0,046... .Округлим число 0,046 до сотых, получим 0,05.
Ответ: 0,05
Задача 26
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.
РЕШЕНИЕ:
При подбрасывании может выпасть "орел" или "решка", всего исходов 2 из них благоприятных 1.Вероятность, что выпадет "орел" равна 1/2 или 0,5.
Это независимые события, поэтому вероятность того, что орел выпадет все три раза найдем по правилу произведения 0,5•0,5•0,5= 0,125.
Ответ: 0,125.
Задача 27
В лотерее 100 билетов, из которых 10 выигрышных. Участник покупает три билета. Определить вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным.
Решение:
Вероятность того, что хотя бы один билет будет выигрышным найдем как разность 1 - P, где Р -вероятность того, что ни один билет не будет выигрышным.
Найдем вероятность того,что не будет выигрышным 1-ый билет 90:100=0,09.
Если взяли 1 билет, то останется 100-1= 99 билетов , невыигрышных будет 99 - 10 =89, вероятность того, что 2-ой билет невыигрышный 89:99=89/99.
Вероятность того, что 3-ий билет будет невыигрышным 88 :98 = 88/98.
Вероятность того, что все три билета не будут выигрышными 90/100•89/99•88/98 = 0,73(приблизительно).
Найдем вероятность того, что хотя бы один билет окажется выигрышным 1 - 0,73 =0,27
Ответ: 0,27.
Задача 28
В урне 8 шаров: 3 белых и 5 чёрных. Какова вероятность, что вынутые наугад два шара окажутся а) белые; б) чёрные; в) одного цвета
Решение:
а)Вероятность того, что 1-ый шар белый равна 3: 8=3/8 ( три восьмых)
Вероятность того, что 2-ой шар белый равна 2:7 =2/7 ( две седьмых) ( после того как один вынули из 8 шаров останется 7, из 3 белых шаров останется 2)
Вероятрость того,что оба шара белые: 3/8 •2/7=0,11(приблизительно)
б) Вероятность того, что 1-ый шар окажется черным равна 5:8=5/8
Вероятность того, что второй шар окажется черным 4:7=4/7
Таким образом вероятность того, что оба шара окажутся черными 5/8•4/7 =0,36( приблизительно).
в)Одного цвета. Либо 2 белых, либо 2 черных 0,11+0,36= 0,47.
Ответ: 0,11; 0,36; 0,47.
Ответ: 0,11; 0,36; 0,47.
Задача 29
Из трёх орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,9, для второго и третьего орудий эти вероятности равны соответственно 0,5 и 0,8. Найти вероятность того, что а) только один снаряд попадёт в цель; б) все три снаряда попадут в цель.
РЕШЕНИЕ:
а)Вероятность того, что только один снаряд попадет в цель равна Р=Р¹+Р² +Р³, где Р¹,Р², Р³ - вероятности попадания 1-го , 2-го,3-его орудия.
Найдем вероятность того, что 1-ый попадетР¹= 0,9•(1-0,5)•(1-0,8)=0,09, где (1-0,5)-вероятность что не попадет 2-ое орудие, (1-0,8) - 3-ье орудие не попадет.
Аналогично для 2-го орудия:Р²=(1-0,9)•0,5•(1-0,8)=0,1•0,5•0,2=0,01.
Р³=(1-0,9)•(1-0,5)•0,8=0,04. Найдем вероятность, что попадет только один снаряд 0,09+0,01+0,04=0,14.
б)Найдем вероятность того, что все три снаряда попадут в цель Р¹•р²•Р3 = 0,9•0,5•0,8 =0,38.
Ответ:а) 0,14;б) 0,38
Задача30
Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает два вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете( в билете 3 вопроса).
РЕШЕНИЕ:
Найдем вероятность того, что студент знает 1-ый, 2-ой вопрос, но не знает 3-ий:30/40•29/39•10/38=0,15
Найдем вероятность того, что студент знает1-ый , 3-ий вопрос,но не знает 2-ой: 30/40•10/39•29/38= 0,15
Найдем вероятность того,что знает2-ой, 3-ий, но не знает 1-ый вопрос:10/40•30/39•29/38=0,15
Таким образом вроятность того что знает два вопроса из трех равна ),15+0,15+0,15= 0,45.
Ответ:0,45